L’interprétation des équations du mouvement en physique

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L’objectif de ce billet n’est pas de dériver mathématiquement les équations, mais plutôt de fournir des explications concises et intuitives sur la signification des différents termes des équations. En outre, nous visons à analyser certains des concepts généraux qui peuvent être déduits des équations concernant les caractéristiques des flux.

Les équations fondamentales que nous utilisons sont des représentations des principes de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie. Ces principes s’articulent et se comprennent le mieux dans le cadre de référence lagrangien, où nous décrivons le mouvement en relation avec les trajectoires de parcelles de fluide immuables au fur et à mesure de leur progression dans le temps.

Néanmoins, le cadre de référence eulérien, qui implique la description de l’écoulement lorsqu’il passe par des points dans un cadre de référence spatial indépendant du fluide, est en fin de compte l’option privilégiée pour des raisons à la fois conceptuelles et quantitatives. La méthode que j’adopterai dans ce contexte consiste à fournir une brève explication de la signification des lois de conservation dans le cadre lagrangien avant de passer à une discussion sur la façon dont elles sont articulées dans le cadre eulérien.

Dans les perspectives lagrangienne et eulérienne, nous examinerons le comportement de petits volumes de fluide, bien qu’avec des définitions distinctes dans chaque cas. La dérivation de nos lois de conservation sous forme d’équations aux dérivées partielles (EDP) implique un processus formel d’approche de dimensions infiniment petites pour nos parcelles de fluide. Nous n’entrerons pas dans les détails de cette procédure dans ce discours, mais il est important que le lecteur garde à l’esprit que les parcelles de fluide dans l’un ou l’autre cadre de référence doivent être conceptualisées comme étant arbitrairement minuscules.

Lamb (1932) donne une définition d’une parcelle lagrangienne fixe de fluide, indiquant qu’elle est constituée uniquement des mêmes particules de fluide à travers le temps. Afin de maintenir cette cohérence, la surface de délimitation de la parcelle doit se déplacer avec le fluide de manière à empêcher toute particule de fluide de la traverser. Cependant, il est important de reconnaître que ce concept est une idéalisation qui n’est valable que dans notre monde conceptuel de continuum. Dans la réalité, les molécules diffuseront inévitablement à travers une telle limite dans les deux sens, et le mieux que nous puissions faire est de nous assurer que la limite suit le mouvement moyen du fluide, ce qui n’entraîne aucun flux net de matière à travers elle. Quelle que soit la perspective adoptée, la parcelle contiendra toujours la même quantité de matière et ne présentera aucun flux net de matière à travers sa surface de délimitation. Cette approche consistant à ne pas tenir compte de la diffusion de masse est utile dans le cas de fluides monospécifiques ou multispécifiques où les concentrations relatives des espèces restent constantes. Cependant, si les concentrations relatives des espèces varient de manière significative, la définition d’une parcelle de fluide lagrangien devient problématique. Pour l’instant, nous ne tiendrons pas compte de cette limitation mineure de la description lagrangienne et poursuivrons notre discussion.

Comme indiqué précédemment, des lois de conservation sont établies pour la masse, la quantité de mouvement et l’énergie. La raison en est que ces quantités sont fondamentales en physique et en thermodynamique, ce qui nécessite leur conservation. Contrairement à la pression ou aux contraintes visqueuses, qui n’ont pas de lois de conservation en raison de leur nature, la masse, la quantité de mouvement et l’énergie sont des éléments fondamentaux de la physique et de la thermodynamique. La masse, la quantité de mouvement et l’énergie sont intimement liées à la matière du fluide et sont transportées avec elle. Ces quantités convectées sont associées à des parcelles de fluide lagrangiennes, ce qui signifie que tout changement de la quantité au sein d’une parcelle ne peut se produire qu’en raison de processus physiques à l’intérieur de la parcelle ou à ses frontières. Les lois de conservation servent à quantifier ces changements, fournissant un cadre pour comprendre la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie dans la perspective lagrangienne.

Continuité de l’écoulement – notre conservation de la masse

Selon notre définition précise d’une parcelle de fluide dans la description lagrangienne, la conservation de la masse à l’intérieur de la parcelle est intrinsèquement garantie. Néanmoins, l’équation chargée d’assurer explicitement la conservation de la masse doit remplir des rôles supplémentaires. L’équation de continuité établit un lien entre la densité du fluide en différents points et le volume qu’il occupe, répondant ainsi à deux critères essentiels :

1. La conservation de la masse est un principe fondamental au sein de chaque parcelle lagrangienne, en fonction des caractéristiques définies de la parcelle.
   
2. Il n’y a pas d’espace vide entre les parcelles lagrangiennes et les parcelles voisines ne se croisent pas. Il est essentiel de considérer l’ensemble du volume du fluide comme étant entièrement rempli de parcelles lagrangiennes qui maintiennent la conservation de la masse.

L’équation de continuité de la description lagrangienne peut être facilement comprise d’un point de vue physique : Lorsque le volume d’une parcelle de fluide change, la densité du fluide doit également changer afin de maintenir la masse constante de la parcelle.

Bien que la base de l’équation de continuité soit physique (exigences 1 et 2 ci-dessus), les exigences qu’elle impose à l’écoulement ne sont pas aussi directes dans un sens de cause à effet que celles imposées par d’autres équations. Par exemple, dans la conservation de la quantité de mouvement, les forces causent directement des accélérations ; et dans la conservation de l’énergie.

Forces sur les parcelles de fluide et conservation de la quantité de mouvement

Dans le cadre de référence lagrangien, la conservation de la quantité de mouvement est explicitement assurée par la deuxième loi de Newton, F = ma. Notre parcelle de fluide lagrangien possède une masse constante et son accélération est déterminée par l’effet cumulatif des forces exercées sur elle.

Des forces externes telles que les forces gravitationnelles et électromagnétiques peuvent agir sur une parcelle, mais en aérodynamique, ces forces sont généralement considérées comme insignifiantes. L’accent est mis principalement sur les forces exercées sur la surface de la parcelle par les parcelles voisines. Selon la troisième loi de Newton, ces forces de surface doivent être égales et opposées de part et d’autre de la limite commune. Ces forces sont appelées « contraintes » internes apparentes du fluide. Il est admis que ces contraintes peuvent être considérées comme des contraintes réparties dans le monde idéalisé du continuum, alors qu’en réalité, il s’agit simplement de contraintes apparentes résultant du transfert de quantité de mouvement dû au mouvement moléculaire. Néanmoins, nous les traiterons comme des contraintes réelles.

Dans les articles précédents de la rubrique « Tout sur la CFD » – « Principes fondamentaux de l’aérodynamique », nous avons exploré le concept de représentation de ces contraintes sous la forme d’un tenseur. Cette approche s’avère avantageuse pour la manipulation mathématique. Cependant, pour une meilleure compréhension physique, il est plus intuitif de penser en termes de vecteurs de force. En contractant le tenseur des contraintes avec le vecteur unitaire normal à la frontière hypothétique entre les parcelles, nous obtenons un vecteur qui représente la force par unité de surface agissant de part et d’autre de la frontière. En outre, nous pouvons décomposer ce vecteur en deux composantes : l’une perpendiculaire à la frontière et l’autre parallèle à celle-ci. Dans le contexte des équations NS, la composante perpendiculaire est supposée être la pression hydrostatique locale, souvent appelée pression statique. En revanche, la composante parallèle est connue sous le nom de contrainte de cisaillement, qui résulte uniquement des effets de la viscosité.

La compréhension intuitive de la pression présente des difficultés en raison de sa nature inhérente à la mécanique des fluides à continuum. La pression peut être visualisée comme la contrainte normale exercée sur des limites hypothétiques englobant un point spécifique dans l’espace.
Bien qu’il s’agisse d’une quantité scalaire, elle exerce une force uniforme dans toutes les directions en un point donné. Au départ, il peut être difficile de comprendre ce concept. Certains commentateurs, comme Anderson et Eberhardt (2001), ont défini à tort la pression statique comme « la pression mesurée parallèlement à l’écoulement ».
Cependant, cette description contredit la véritable essence de la pression, qui n’est pas affectée par la direction de l’écoulement et agit uniformément dans toutes les directions. Une approche plus intuitive pour comprendre la pression consiste à considérer son impact sur une parcelle de fluide petite mais finie. Dans un champ de pression constante, cette parcelle subit des forces intérieures égales de la part du fluide environnant dans toutes les directions.

Pour induire une accélération dans la parcelle, le total des contraintes agissant sur toutes les faces de la parcelle doit aboutir à une somme vectorielle non nulle, ce qui indique une force déséquilibrée. Les contraintes exercées sur les faces opposées de la parcelle agissent dans des directions opposées et s’annulent si leurs amplitudes sont égales. Dans un champ de pression constante, les contraintes normales s’annulent et il n’y a pas de force déséquilibrée. Pour qu’une force soit déséquilibrée, il faut que les amplitudes des contraintes sur les côtés opposés de la parcelle soient différentes, ce qui implique une pression non uniforme ou une contrainte visqueuse.
Par conséquent, la force déséquilibrée ne dépend pas de la contrainte en soi, mais du gradient de contrainte, symbolisé par ∇p dans le contexte de la pression. Il s’agit typiquement d’un écoulement de fluide non uniforme. Étant donné que les forces sont influencées par le mouvement de la parcelle de fluide et des parcelles voisines, la relation de cause à effet entre les contraintes et les vitesses devient circulaire, ce qui rend notre analyse plus complexe. Ce sujet sera approfondi dans une prochaine édition de notre série « Tout sur la CFD » consacrée aux « Principes fondamentaux de l’aérodynamique ».

L’accélération d’une parcelle est régie par l’équation de la quantité de mouvement ; par conséquent, pour déterminer la vitesse de la parcelle, il faut intégrer l’équation. Les sections suivantes de la série montreront comment l’intégration de l’équation de la quantité de mouvement pour l’écoulement régulier d’un fluide non visqueux aboutit à l’équation de Bernoulli, une relation d’écoulement très utile.

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